Física - Video 14 - Derivadas de algunas funciones

APLICACIONES DE LA DERIVADA EN EL FUTBOL

Desde hace un par de semanas las derivadas son cotidianos de muchas personas alrededor del mundo se han alterado. Un tema de conversación se hace más común de lo usual e invade de una u otra forma ámbitos que tienen poco o nada que ver con él. El fútbol, ese deporte inventado por los ingleses y que bien podríamos considerar el más popular idioma mundial – seguido con menos popularidad y pasión generalizada por la ciencia –, se hace más presente en la cotidianeidad de todo el mundo durante el paso de poco más de un mes que dura la Copa Mundial de la FIFA, el non plus ultra de los campeonatos de éste deporte, el más popular del mundo.

Pese a su popularidad y su relevancia en el comportamiento de individuos, colectivos y aún, sociedades enteras, el fútbol no ha sido objeto de mucha atención desde las ciencias sociales. Pudiéramos señalar que la atención se ha centrado principalmente desde la psicología en sus aplicaciones para mejorar el rendimiento de los atletas y de los equipos. Los fenómenos alrededor del fútbol únicamente han recibido atención casi exclusivamente cuando tienen relación con la derivada.

Considero que debe al menos llamar nuestra atención que siendo un fenómeno tan complejo, que reciba tan poca atención de nuestra parte como científicos sociales. Y es que no puede pasarnos desapercibido que el fútbol no es solamente un deporte, ni un fenómeno de masas alienadas, un nuevo “opio de los pueblos”. Y no lo digo como fanático que soy también de ese deporte, si no como científico social.

APLICACIONES DE LA DERIVADA EN EL UNIVERSO

 

Observaciones astronómicas indican que el Universo tiene una edad de 13,73 ± 0,12 mil millones de años y por lo menos 93 mil millones de años luz de extensión. El evento que se cree que dio inicio al Universo se denomina bing bang. En aquel instante toda la materia y la energía del universo observable estaban concentradas en un punto de densidad infinita. Después del Big Bang, el universo comenzó a expandirse para llegar a su condición actual, y lo continúa haciendo.
Debido a que, según teoría de la realidad especial, la materia no puede moverse a una velocidad superior a la velocidad de la luz, puede parecer paradójico que dos objetos del universo puedan haberse separado 93 mil millones de años luz en un tiempo de únicamente 13 mil millones de años; sin embargo, esta separación no entra en conflicto con latearía de la realidad general, ya que ésta sólo afecta al movimiento en el espacio, pero no al espacio mismo, que puede extenderse a un ritmo superior, no limitado por la velocidad de la luz. Por lo tanto, dos galaxias pueden separarse una de la otra más rápidamente que la velocidad de la luz si es el espacio entre ellas el que se dilata.Mediciones sobre la distribución espacial y el desplazamiento hacia el rojo (redshift) de galaxias distantes, la radiación cosmica del fondo microondas, y los porcentajes relativos de los elementos químicos más ligeros, apoyan la teoría de la expansión del espacio, y más en general, la teoría del Big Bang, que propone que el espacio en sí se creó a partir de la nada en un momento específico en el pasado.

APLICACIONES DE LA DERIVADA EN LA INGENIERIA

La ingeniería industrial es una rama de la ingeniería que estudia los procesos productivos y tecnológicos.

La ingeniera no debe su existencia a un decreto real ni fue creada por ninguna legislación, ha evolucionado y se ha desarrollado como un arte práctico y como una profesión a lo largo de más de cincuenta años de historia documentadas. Sus raíces pueden remontarse al nacimiento de la civilización misma y su progreso ha sido paralelo al progreso de la humanidad. Nuestros antepasados intentaron controlar y utilizar los materiales y las fuerzas naturales para el beneficio general, tal como lo seguimos haciendo en la actualidad. Se dedicaron a estudiar y a observar leyes de la naturaleza y desarrollar un conocimiento de las matemáticas y la ciencia. Aplicaron estos conocimientos con discreción y buen juicio, logrando así satisfacer necesidades sociales mediante la construcción de puertos, caminos y edificios, medios de riego y de control de corrientes de agua mediante trabajos creativos.

Apartir del cálculo diferencial se pudieron calcular formulas, como por ejemplo, la fórmula del área de un triangulo bxh/2, salió a partir de calcular el área bajo la recta de un triangulo...

Ahora, existe otra cuestión fundamental, que es el hecho de que sirve para calcular velocidades; no solo de un cuerpo, sino que velocidades de crecimiento, decrecimiento, enfriamiento, separación, divergentes de fluidos, etc.; esto es algo fundamental para el estudio de poblaciones, de fluidos, de dinámica, de termodinámica, y de qumica.Como te digo, prácticamente todas las formulas que conoces surgen apartar de ecuaciones diferenciales, y de condiciones; por ejemplo en análisis de señales ya que una señal tiene una amplitud y una frecuencia, actúan como funciones de senos y cosenos, y pues obvio para analizarlas te tienes que meter en una ecuación diferencial. Y pues bueno, en una ingeniería se ocupan para enlizar cuestiones técnicas de cada rama que estudies, por ejemplo, en electrónica pues con la ley de ohm, en química con las leyes de los gases ideales, en ingeniería civil se ocupan las derivadas para relacionar las ecuaciones de cargas estáticas con las ecuaciones de momentos flexionantes, en mecánica se ocupan para calcular inercias, velocidades, aceleraciones, y por lo tanto fuerzas internas y externas que actúan en un mecanismo...

Derivadas: Introducción y Definición

DERIVADAS

El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la "antiderivada" o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal.

La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.

Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.

Definición analítica de derivada como un límite

Esquema que muestra los incrementos de la función en x y en y.

En terminología clásica, diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad y cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad x.

En matemáticas coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc.

En física coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo.

En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto P de la función por el resultado de la división representada por la relación dy/dx, que como puede comprobarse en la gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en el punto P de la función. Esto es fácil de entender puesto que el triangulo rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto P, por mucho que lo dibujemos más grande, al ser una figura proporcional el resultado de dy/dx es siempre el mismo.

Esta noción constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manera simultánea.

En particular, se tiene que la derivada de la función en el punto se define como sigue:

Si este límite existe, de lo contrario, f' no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática.

Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son consecuencia directa de la definición de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal.

También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera:

La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de la tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de . El aspecto de este límite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.

No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado.

El conocimiento de todas las expresiones anteriores y su significado representan el acercamiento epistémico más completo posible en torno a la definición de derivada, y con ello, al aspecto esencial del cálculo diferencial.